Здравствуйте, Гость!
Мы просим вас войти или зарегистрироваться у нас на сайте.
Это откроет для вас дополнительные возможности
и раскроет весь потенциал нашего сайта.


Обновления сайта:

Статистика
» Зарег. на сайте
» Всего: 6029
» Новых за месяц: 170
» Новых за неделю: 19
» Новых вчера: 1
» Новых сегодня: 0



Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Облако тегов

Наш партнер
Реальность жизни

Для записи целых чисел можно использовать разные способы. Такие способы принято называть системами счисления. Например, целое число можно записывать последовательностью "палочек". Число 5 выглядит при таком способе как |||||. Понятно, что такой способ хорош только для записи небольших чисел. Для записи целых чисел, особенно дат, иногда применяют римскую систему счисления. В этой системе 2013 год записывается следующим образом MMXIII.

Основным способом записи чисел является их запись в различных позиционных системах счисления. Для записи числа в позиционной системе счисления используется некоторое множество символов, называемых цифрами системы счисления. Общепринято использовать 10 цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, значения которых задают первые 10 чисел натурального ряда. Число используемых цифр задает основание системы счисления. В привычной со школьной скамьи десятичной системе счисления используются 10 цифр. В двоичной системе счисления с основанием 2 используются две цифры - 0 и 1. В позиционных системах счисления с основанием p, где p <=10 обычно используются первые p из приведенных 10 цифр. В системах счисления с основанием p > 10 десяти приведенных цифр не хватает, поэтому необходимы другие символы для записи цифр. В широко используемой при работе с компьютерами 16-иричной системе счисления, где необходимо 16 цифр, наряду с цифрами 0 - 9 в качестве цифр используют начальные буквы латинского алфавита - A, B, C, D, E, F, задающие соответственно числа от 10 до 15.

В любой системе счисления основание системы счисления – число p – всегда записывается как число 10. Поясним причину этого на примере десятичной системы. Число 9 можно записать, используя цифру 9, но, если прибавить к 9 единицу, то на следующее число цифры уже не будет. Поэтому в позиционных системах в таких случаях число записывается с помощью двух цифр как число 10 – в младшем разряде пишется 0, а в старшем 1. В двоичной системе счисления числа 0 и 1 можно записать с помощью цифр, но, если прибавить к 1 единицу, то для двойки уже цифры нет, поэтому в двоичной системе число 2 записывается с помощью двух цифр, как число 10.

Вопрос: Чему равно число, записанное в системе счисления с основанием p как 10_{p}?

Ответ: Эта запись означает число p в привычной для нас десятичной системе счисления.

Вопрос: В каких системах счисления справедливы утверждения?

2 * 2 = 10
2 * 2 = 11
2 * 2 = 100
2 * 2 = 4

Ответы: ( В системах с основаниями соответственно: 4, 3, 2, в любых системах с основанием p > 4)

Рассмотрим привычную для нас запись числа N = 754 в десятичной системе счисления. Не задумываясь, мы ответим, что число N состоит из 7-и сотен, 5-и десятков и 4-х единиц.

N = 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 4 * 10^0

В общем случае запись N = c_{k-1} c_{k-2}…c_{0}, где c_{i} – цифры системы счисления означает:

N = c_{k-1} * p^{k-1} + c_{k-2} * p^{k-2} + … + c_{0} * p^{0}, ( *)

где pоснование системы счисления. Учитывая, что в любой системе счисления p = 10, то справедлива и такая запись:

N = c_{k-1} * 10_{p}^{k-1} + c_{k-2} * 10_{p}^{k-2} + … + c_{0} * 10_{p}^{0}, ( **)

Вот точное определение:

Запись числа в позиционной системе счисления означает разложение числа по степеням основания. В роли коэффициентов выступают цифры системы счисления.

Понимание этого факта и соответствующего ему представления числа N соотношением (*) достаточно для решения многих задач экзамена ЕГЭ.

Задача 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 130?

Ответ: 2.

Решение. Число  130 = 128 + 2 = 1 * 2^7 + 1 * 2^1. Остальные коэффициенты равны 0. Полное решение задачи. Поскольку максимальная степень двойки равна 7, то число 130 в двоичной системе будет содержать 8 цифр – 2 единицы и 6 нулей 130_{10} = 10000010_{2}

Задача 1 решается мгновенно, если помнить степени числа 2

Задача 2: Сколько нулей в троичной записи числа 130?

Ответ: 0

Решение: Используя разложение по степеням основания 3, число 130 можно представить:

130_{10} = 3^4 + 3^3 + 2 * 3^2 + 3 + 1 = 81 + 27 + 18 + 3 + 1 = 11211_{3}

Задача 2 может потребовать некоторых вычислений из-за того, что со степенями тройки сложнее работать, чем со степенями двойки, которые обычно помнит наизусть каждый ученик, изучающий информатику.

Задача 3: Чему равно число, записанное как 243_{5} в пятеричной системе счисления?

Ответ: 73_{10}

Решение: Это обратная задача по отношению к задаче 1. Здесь зная цифры и основание системы счисления нужно восстановить число, используя соотношение (*).

N = 243_{5} = 2 * 5^2 + 4 * 5^1 + 3 = 50 + 20 + 3 = 73_{10}

Задача 4: Число 243_{5} записать в двоичной системе счисления?

Ответ: 1001001_{2}

Решение: Задача записи числа N в системе счисления с основанием p, если задана его запись в системе с основанием q, решается в два этапа. На первом этапе число переводится в десятичную систему, на втором этапе – в систему с основанием p.

N = 243_{5} = 73_{10} = 64 + 8 + 1 = 1001001_{2}

Формальный алгоритм перевода десятичного числа в систему с основанием p

Алгоритм достаточно прост. На пальцах он выглядит так. Необходимо последовательно делить число на p - основание системы счисления. Остатки от деления дают цифры для записи числа в системе с основанием p.

Приведу обоснование алгоритма:

Воспользуемся представлением (*) для записи числа N.

  1. Положим M = N = c_{k-1} * p^{k-1} + c_{k-2} * p^{k-2} + … + c_{0} * p^0;
  2. Представим число M в виде: M = (c_{k-1} * p^{k-2} + c_{k-2} * p^{k-3} + … + c_{1}) * p + c_{0}
  3. Нетрудно видеть: с_{0} = M \% p, где операция % означает остаток от деления;
  4. Вычислим новое значение M = M / p, где операция / означает деление нацело. Результатом этой операции является число, от которого отрезана последняя цифра; Полученное число сохраняет представление (*).
  5. Операции 3 и 4 будем повторять k раз, получая каждый раз очередную цифру в разложении N по степеням основания p.

Вот как выглядит точная запись этого алгоритма в виде функции на языке С#:

 /// <summary>
 /// Перевод десятичного числа N 
 /// в систему счисления с основанием p
 /// </summary>
 /// <param name="N"> переводимое число</param>
 /// <param name="p">основание системы счисления</param>
 /// <returns>
 /// строка, задающая запись числа 
 /// в системе с основанием p
 /// </returns>
 static string Perevod10ToP(int N, int p)
 {
 string result = "";
 int M = N;
 while (M != 0)
 {
 result = (M % p).ToString() + result;
 M = M / p;
 }
 return result;
 }
 

К этому алгоритму мы еще вернемся, а сейчас рассмотрим несколько менее тривиальных задач, на тему представления чисел в системах счисления.

Задача 5: Число 77 в системе счисления с основанием p заканчивается на 0, а число 29 в этой системе заканчивается на 1. Чему равно p – основание системы счисления?

Ответ: 7

Решение: При обосновании алгоритма перевода было показано, что с учетом представления (*) любое число может быть записано в виде:

(c_{k-1} * p^{k-2} + c_{k-2} * p^{k-3} + … + c_{1}) * p + c_{0}

Отсюда следует возможность представить наши числа 77 и 29 следующим образом:

77 = k_{1} * p + 0
29 = k_{2} * p + 1

Следовательно, справедливо соотношение:

49 = (k_{1} – k_{2}) * p

Произведение двух целых, отличных от 1, равно 49 в том и только в том случае, когда:

(k_{1} – k_{2}) = p = 7

Задача 6: Двузначное число N в системах счисления с основаниями 3 и 7 заканчивается одной и той же цифрой. Укажите минимально возможное значение N.

Ответ: 21

Решение: N представимо в виде:

N = 3k_{1} + c_{0} = 7k_{2} + c_{0}

Следовательно, справедливо соотношение:

3k_{1} = 7k_{2}

Минимальное значение для N получается при:

k_{1} = 7; k_{2} = 3; N = 21

Алгоритм перевода десятичных чисел в систему счисления с основанием p следует хорошо знать. В ряде задач он используется для разбора десятичного числа на цифры. Зная число цифр в числе, их сумму или произведение, можно найти минимальное, максимальное или все числа, удовлетворяющие заданным характеристикам. Вот несколько задач на эту тему:

Задача 7:

При выполнении фрагмента программы на печать выводятся два числа - 3 и 18.

Каким может быть минимальное (максимальное) значение числа N в этом случае?

 int a = 0, b = 0;
 while (N != 0)
 {
 a = a + 1; //число цифр в числе
 b = b + N % 10; //сумма цифр
 N = N / 10;
 }
 Console.WriteLine(" a = " + a.ToString());
 Console.WriteLine(" b = " + b.ToString());
 

Ответ: минимальное N – 189; максимальное N = 990

Решение: Если в качестве основания системы использовать число 10, то алгоритм позволяет разобрать десятичное число на цифры. Переменная a играет роль счетчика цикла, задавая тем самым число цифр в числе. Переменная b в данном фрагменте вычисляет сумму цифр. Задача сводится к определению к-значного числа по заданной сумме его цифр. Если сумма трех цифр числа равна 18, то первой цифрой у числа с минимальным значением может быть цифра 1. Две оставшиеся цифры в сумме дают 17, откуда и следует ответ. Для максимального числа, последней цифрой может быть 0, а две старшие цифры могут быть равны 9.

Задача 8:

При выполнении фрагмента программы на печать выводятся два числа - 3 и 18.

Перечислите все возможные значения числа N в этом случае?

 int a = 0, b = 1;
 while (N != 0)
 {
 a = a + 1; //число цифр в числе
 b = b * N % 10; //произведение цифр
 N = N / 10;
 }
 Console.WriteLine(" a = " + a.ToString());
 Console.WriteLine(" b = " + b.ToString());
 

Ответ: (129, 136, 163, 192, 219, 233, 291, 316, 323, 332, 361, 613, 631, 912, 921)

Решение: Эта задача является вариацией предыдущей задачи. Здесь необходимо определить возможное значение трехзначного числа, зная произведение его цифр. В ответе перечислены все возможные решения.


Форма входа
Логин:
Пароль:

Это важно!








Календарь
«  Сентябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930


Язык сайта

Счетчик материалов
Сообщений на форуме: 0/0 Банк материалов: 97
Комментариев: 9
Гостевая книга: 19
Банк статей: 59
Вакансии: 7
Новости: 24
Сайтов: 5
Тесты: 4
FAQ: 4



Мы рады приветствовать Вас на Российском информационно-образовательном портале!

Данный проект позволяет сделать образовательный процесс более «прозрачным» для родителей учеников и
более эффективным и насыщенным для детей и педагогов.
В различных разделах настоящего портала Вы можете:
поучаствовать в опросе, высказать свое мнение о качестве предоставляемых услуг   
разместить свои методические разработки в "Банке материалов", получив именной сертификат;
разместить свои статьи в "Банке статей", получив именной сертификат;
стать активным участником нашего форума, получив сертификат;
обменяться мнениями и полезной информацией и многое другое!
www.obr-rus.ru © 2017